解读IEEE标准754:浮点数表示

2018-06-1914:23:19来源: 逝不等琴生 评论 884 views

一、背景

在IEEE标准754之前,业界并没有一个统一的浮点数标准,相反,很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则,以及运算细节。那时,实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。

直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候,聪明地意识到,作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们,也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在请加州大学伯克利分校的 William Kahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式; 而这个家伙又找来两个专家来协助他,于是就有了KCS组合(Kahn, Coonan, and Stone)。 他们共同完成了Intel的浮点数格式设计,而且完成地如此出色,以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。目前,几乎所有计算机都支持该标准,大大改善了科学应用程序的可移植性。

 

二、表示形式

从表面上看,浮点数也是一串0和1构成的位序列(bit sequence),并不是三头六臂的怪物,更不会咬人。然而IEEE标准从逻辑上用三元组{s,e,m}表示一个数N,如下图所示:
file

N的实际值n由下列式子表示:

其中:

★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。

★ s(sign)表示N的符号位。对应值s满足:n>0时,s=0; n<0时,s=1。

★ e(exponent)表示N的指数位,位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。

★ m(mantissa)表示N的尾数位,恰好,它位于N末尾。M也叫有效数字位(sinificand)、系数位(coefficient), 甚至被称作“小数”。

 

三、浮点数格式

IEEE标准754规定了三种浮点数格式:单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅,本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。

★ 单精度: N共32位,其中S占1位,E占8位,M占23位:

★ 双精度: N共64位,其中S占1位,E占11位,M占52位:

值得注意的是,M虽然是23位或者52位,但它们只是表示小数点之后的二进制位数,也就是说,假定 M为“010110011...”, 在二进制数值上其实是“.010110011...”。而事实上,标准规定小数点左边还有一个隐含位,这个隐含位通常,哦不,应该说绝大多数情况下是1,那什么情况下是0呢?答案是N对应的n非常小的时候,比如小于 2^(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的,看到后面你就会明白。总之,隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”

 

四、计算e、m

首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢,其实并没有这么难的,跟我来!掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是,规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话:规格化与否全看指数E!

下面分三种情况讨论E,并分别计算e和m:

1、规格化:当E的二进制位不全为0,也不全为1时,N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置(biased)形式的整数,e值计算公式如下图所示:

上图中,|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。 k则表示E的位数,对单精度来说,k=8,则bias=127,对双精度来说,k=11,则bias=1023。

此时m的计算公式如下图所示:

标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M="101",则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.625

2、非规格化:当E的二进制位全部为0时,N为非规格化形式。此时e,m的计算都非常简单。

注意,此时小数点左侧的隐含位为0。   为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias),这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。

有了非规格化形式,我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后,我们得到了 -0.0; 同理,把所有位均置0,则得到 +0.0。非规格化数还有其他用途,比如表示非常接近0的小数,而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。

3、特殊数值: 当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时,若M的二进制位全为0,则n表示无穷大,若S为1则为负无穷大,若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时,表示NaN(Not a Number),表示这不是一个合法实数或无穷,或者该数未经初始化。

 

五、范例

仔细研读第四点后,再回忆一下文章开头计算n的公式,你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧? 还不能吗?不急,我先给你示范一下。我们假定N是一个8位浮点数,其中,S占1位,E占4位,M占3位。下面这张表罗列了N可能的正数形式,也包含了e、m等值,请你对照着这张表,重温一下第四点,你会慢慢明白的。说实在的,这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事:

这张表里头有很多有趣的地方,我提醒一下:

★ 看 N 列,从上到下,二进制位表示是均匀递增的,且增量都是一个最小二进制位。这不是偶然,正是巧妙设计的结果。观察最大的非规格数,发现恰好就是M全为1, E全为0的情况。于是我们求出最大的非规格数为:

上面的公式中,h为M的位数(如范例中为3)。注意,公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值(如范例中为 8/512 );第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。

★ 看 m 列,规格化数都是 1+ x 的形式,这个1正是隐含位1; 而非规格化数隐含位为0, 所以没有 "1+" 。

★ 看 n 列,非规格化数从上到下的增量都是 1/512, 且过渡到规格化数时,增量是平滑的,依旧是1/512。这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故,也是巧妙设计的结果。 再继续往下看,发现增量值逐渐增大。可见,浮点数的取值范围不是均匀的。

 

六、实战

我们用一小段汇编来测试一下,浮点数在内存中是如何表示的。测试环境: GentooLinux2006.0/GNU assembler version 2.16.1/GNU gdb 6.4/AMD XP1600+。 如下所示

 

代码:


~/coding/assemble $  gdb
(gdb) list
.section .data
f1:
    .float  5
f2:
   .float  0.1
    .section .text
    .global _start
_start:
    nop

(gdb) x/f &f1
0x80490a4 <f1>:    5
(gdb) x/xw &f10x80490a4 <f1>:    0x40a00000
(gdb) x/f &f20x80490a8 <f2>:    0.100000001
(gdb) x/xw &f20x80490a8 <f2>:    0x3dcccccd
(gdb)

 

从上面的gdb命令结果可以看出,浮点数5被表示为 0x40a00000,二进制形式为( 0100 0000 1010 0000 ... 0000 0000)。红色数字为E,可以看出|E|=129>0, 则e=129-bias=129-127=2 ; 蓝色数字为M, 且|E|>0,说明是规格化数,则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25 ; 由n的计算公式可以求得 n=(-1)^0 1.25 2^2  = 5, 结果被验证了。

同样,你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确,你会发现,0.1不能表示为有限个二进制位,因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果,即 0x3dcccccd, 十进制为0.100000001, 误差0.000000001由此产生了。

 

七、未完成

关于浮点数,还有很多东西(比如舍入误差、除零异常等等)值得我们深入探讨,但已经无法在此继续。这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。写这篇文章花掉了我整天的时间,但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西──最重要的是,希望这篇文章对大家有点用处,也算我为计算机科学基础理论版以及Linuxsir.org做的一点贡献。

 

参考书目:

①: Randall Hyde, The Art of Assembly Language, Vol.1, 4.2.1

②: Randal E. Bryant, David R. O’Hallaron, Computer Systems A Programmer’s Perspective (Beta Draft), PartⅠ, Chapt.Ⅱ, 2.4

③:  Rechard Blum, Professional Assembly Language

 

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http://bbs.linuxsir.org/showthread.php?t=262207

更新:

20060623-06:44 增加了求最大非规格数的公式

20060622-23:40 修改了几处笔误,换掉了实验部分的那张大图,改用代码显示。

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