导数大于0还是大于等于0，单调递增？

先说结论，能等于0。

这个问题问的人很多，源自教科书上是这样描述的：

在某区间(a,b)内，如果  ,那么函数  在这个区间内单调递增

----摘自高中数材人教版选修2-2

但是在实际的做题过程中，我们经常会遇到例外，最简单的如递增函数 ，其  :

那么是教科书上错了吗？

没错，但  只是递增的充分条件，即  递增，递增不能

下面是函数的递增的充要条件：

可导的初等函数f(x)，若在某区间(a,b)内，  ，且  不能形成区间  在此区间内单调递增。

----函数递增的充要条件

什么叫  不能形成区间，这里我给出一个直观的解释，请观察下面分段函数的图像：

对于递增的充要条件，有一个常见错误，认为  ，并且  的点个数有限  在此区间内单调递增。

很容易给出一个反例，请观察  的图像：

可以看出，  在实数范围内有无限个  的点。

那么解题的时候怎么使用呢？

高中范围内，可以直接使用  ，只有遇到分段函数才需要分段考察。

说到这里可能还是觉得有点不放心，对于很多我们难以作图的函数（比如2015年北京理科18题，  ）而言:

这里我做一个简单的说明，  形成区间，其代数意义是，  这个方程有根并且根是连续的，对于形如  这样的多项式而言，根的个数最多为  个，不可能连续，而对于  这样周期函数而言，根的一般形式是  ，也是离散的点，不会形成区间。

重要的问题说三遍，考试的时候要使用  （分段函数除外）！考试的时候要使用  （分段函数除外）！考试的时候要使用  （分段函数除外）！

来看一道习题，就知道使用  的重要性了。

已知  在R上不是单调增函数，则b的范围为？

----导数与函数的单调性练习题

使用  。

使用  ，而这个才是正确答案！

所以，重要的问题说三遍，考试的时候要使用  （分段函数除外）！考试的时候要使用  （分段函数除外）！考试的时候要使用 （分段函数除外）！