为什么会有弧度制?

2017-08-1515:26:26来源:公众号:马同学高等数学(ID: matongxue314) 评论 1,948 views
1 角度

谈弧度,就必须先谈下角度,如果世界上只有弧度,没有角度,我相信大家也就不会疑惑为什么会有弧度制了。

1.1 角度为什么出现?

角度的出现,是源于对圆周运动的观察

 

为什么会有弧度制?

 

这个世界上最大最显眼的圆周运动就是太阳,就算我们现代人知道地心说是错误的,可是以我们的尺度来说,抬头还是观察到太阳在做圆周运动。

作为观察者,我们也非常自然的,以我们为中心,开始计算太阳相对我们的移动,这就开始出现了角度。

1.2 圆周为什么是360°?

地球围绕太阳公转,而遥远的十二星座仿佛固定在圆柱形天幕上:

为什么会有弧度制?

地球上的我们就像看走马灯一样,随着地球的公转,在特定的时间看到特定的星座。古人发现了这个规律,并且以星座为参照物,近似观察出循环周期为360天,也就是一年。

因此,天就被等分成了360份,也就是圆被等分成了360份。虽然后来古人慢慢发现了一年实际上是365天,但是因为360度已经成为习惯,并且非常好计算,所以就被保留了下来。

1.3 度数是圆周的占比

 

为什么会有弧度制?

 

2 弧度

角度似乎已经足够描述圆周运动了,为什么要出现弧度?是来给世界添乱的吗?

2.1 弧度为什么出现?

弧度的出现,刚开始不过是个数学游戏。弧度=弧长/半径,对于相同的角度这个比值保持不变,所以可以看作角度的另一种表现形式。(其实“弦长/半径”也是定值,为啥不选这个作为弧度呢?可以想想。)

 

为什么会有弧度制?

 

2.2 弧度有什么现实意义?

弧度是从圆周运动进行者的角度来看待圆周运动。

之前说过,古人的世界观是天圆地方,人们的旅行都被视为直线运动。欧式几何里面的直线笔直的延伸到无穷远处。

可是,事实是,地球是圆的,随着技术的发展,大航海时代的来临,大家越来越认识到这一点。传统意义上的直线,在地球表面都不复存在,必须重新定义直线的含义。

弧度也是在这样的环境下开始发扬光大:

 

为什么会有弧度制?

 

知道了移动的角度,也就知道了经纬度,就可以通过地图进行导航,而利用弧度,大大简化了这一过程。

“海里”这个航海单位也是弧度在大航海时代的产物。

“海里”传统上定义为子午线1角分的长度。它可从航海图中,以子午线上的纬度的改变来量度。
----维基百科

 

为什么会有弧度制?

 

2.3 弧度可以把圆周运动转为直线运动

 

为什么会有弧度制?

 

这种转换有了之后,就可以很方便的测量汽车的直线速度了。汽车在车胎附近安装一个传感器,测出车胎的转速(比如10弧度/秒),乘以半径(比如1米),就得到了汽车的直线速度(这里就是10米/秒)。有的出租车换了更小直径的轮胎而不修改行车电脑里面的轮胎半径,就可以轻松的“偷里程”。所以,学习多么的重要啊!

2.4 弧度帮助理解重要极限

为什么会有弧度制? ,这是个很重要的极限,考试也会经常用到,但是他的几何意义是什么呢?

 

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为什么会有弧度制?

 

2.5 在现代数学中,弧度是最基本的概念

弧度使得角度和实数统一在了一起。对于 为什么会有弧度制? 这个函数而言,如果  使用角度,就很难去理解这个方程,一边的单位是度,一边是无单位的实数。而使用弧度可以很好的解决这一问题,使得  和  都是无单位的数。

弧度开启了三角函数的大门。欧拉在他的著作《无穷小分析概论》就提出了弧度,并且作出了三角函数线(这也是非常有趣的概念,在这里就不展开了),通过弧度和三角函数线,第一次定义了三角函数!这也是欧拉在数学上的重大贡献之一。此时,三角分析才开始和函数这个有力的工具挂上钩。

3 结论

  • 角度是对圆周运动的观察,弧度是对圆周运动的进行
  • 角度是有单位的,弧度是无单位的,所有三角函数都应使用弧度

个人觉得,在现代教育中,弧度制应该尽早的引入,而去弱化角度制,让学生尽早形成对弧度制的直觉认知。就好比加减乘除虽然重要,但是在微积分才是现代数学的基础。

 

  • 版权声明:本文源自 公众号:马同学高等数学(ID: matongxue314), 整理发表于2017-08-1515:26:26,共 1454 字。
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