秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹

2018-09-0500:00:01来源:中关村大成智慧教育产业创新联盟 评论 1,741 views

整个自然就是一本用数学的语言写成的书——伽利略


秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹
秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹

莱布尼兹画像

作者:Christoph Bernhard Francke, c. 1700.

馆藏:美国哥伦比亚大学


秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹

莱布尼兹1695年39岁时的画像

作者:不详

来源:英国皇家学会科学史中心图片库,伦敦

Picture Library

Centre for History of Science

The Royal Society

6-9 Carlton House Terrace

London

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秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹

来源:思想领袖肖像库,纽约

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秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹
Image: German School - Portrait of Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)


秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹


一、通才巨人莱布尼兹逝世300年至今其全集仅仅出版五分之一 


  近代著名的德国思想家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646—1716),在哲学上,与亚里士多德和康德齐名,是欧洲三大哲学泰斗之一;在数学上,他与牛顿齐名,相互独立地创建了微积分,他还是数理逻辑这一重要学科的开创者,并因为他首先制造出能够完成四则运算的计算器、发明二进制、设计采用二进制计算的计算器被誉为计算机的先驱者之一。


  斯坦福哲学百科全书这样评价莱布尼兹:戈特弗里德·莱布尼兹是十七和十八世纪伟大的数学家之一,并且被称为“空前绝后的通才(universal genius)”之一。他对形而上学、神学、逻辑学、宗教哲学,同时也对数学、物理、地理学、法学和历史学均作出深刻而重要的贡献。法国启蒙运动的主要学者之一、作为无神论和唯物主义者的狄德罗,尽管经常和莱布尼兹发生意见分歧而争吵,但是对莱布尼兹佩服得五体投地,在其编撰的《百科全书》中编写莱布尼兹条目的时候给出以下的评价:“没有任何一个人比莱布尼兹读得多﹑研究得深﹑思考得多﹑写作得多,尽管至今还没有莱布尼兹的著作全集问世。但是这位伟人给德国带来的荣誉大大超过柏拉图﹑亚历士多德以及阿基米德给希腊带来的荣誉的总和。”


  1646年,即伽利略逝世后第4年,莱布尼兹出生,他比牛顿小4岁。父亲是一位哲学教授,母亲出身于图书贸易家族。莱布尼兹6岁时父亲去世,留下一个馆藏丰富的家庭图书馆,主要为拉丁文书籍,这对他后来能够熟练使用拉丁文写作有很大作用。12岁自己学习拉丁文和希腊文。13岁时曾经在一个早晨为学校的庆祝用拉丁文写了30首6步格诗。15岁进入当地大学学习哲学和法律,并在20岁时完成这两门专业的学业。1666年他出版第一部有关于哲学方面的书籍,书名为《论组合术》(De arte combinatoria)。1675年,基于他的突出成就,法兰西皇家科学院聘请莱布尼兹为荣誉院士。


  在任何微积分教材中可以找到牛顿-莱布尼兹公式,它是微积分著名定理之一:


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  但是,有关他的深入信息我们了解不多。位于汉诺威的莱布尼兹档案馆收藏了大量手稿,读者可以借阅。德国图书馆保持了一贯的传统——可以随意借阅馆藏图书。我曾经在奥尔登堡图书馆借阅一本16世纪的解剖著作,当然这是无价之宝,不到10分钟,管理员就把原著摆到我的面前。Stephen Wolfram根据莱布尼兹档案馆信息写出一篇内容丰富的文章(29)。图1来自莱布尼兹写下的收敛于√2的无穷级数的手稿(文字为拉丁文):


秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹
图1 莱布尼兹手稿中的收敛于√2的无穷级数(文字为拉丁文)


  莱布尼兹创造了至今沿用的重要的微积分运算符号,例如积分符号∫和微分符号d。他也被称为数理逻辑鼻祖。图2是他在手稿中使用的逻辑量词(例如现代的代表所有的符号∀和表示存在的符号∃)时,他是用拉丁文缩写U.A.和P.A.。


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图2在莱布尼兹手稿中使用拉丁文缩写表示的逻辑量词U.A.和P.A.


  莱布尼兹是百科全书式的作家,著作内容几乎囊括当时所有的学科  领域。  莱布尼兹习惯用多种文字写作,其中70%用拉丁文,25%为法文,还有一些用德文,所以对他的遗著的整理和编辑难度很大。他的手稿大约有20万页,绝大部分没有发表。他曾经与1千多人保持通信,留下的来往书信有1.5万多封。在莱布尼兹去世以后不久,关于他的著作全集的出版工作就开始了。1758年,当时普鲁士研究院的成员Diderot就提出要出版莱布尼兹全集。但是由于种种原因进展缓慢。


  19世纪出版的莱布尼兹著作包括:卡雷尔(A. Foucher de Careil )1859至1875年出版了七卷本《莱布尼兹著作》(Oeuvres),普鲁士科学院通讯院士格哈特(Carl Immanuel Gerhardt)1849至1863年出版了《莱布尼兹数学著作集》(Philosophischen Schriften,1875至1890年出版了《莱布尼兹数学著作专集》(Mathematische Schriften)。1903年,库图拉(Louis Couturat)出版了他搜集到的莱布尼兹的未刊逻辑学文稿(Opuscules et fragments inédits)。1906年戈尔兰德(Ernst Gerland)出版了莱布尼兹的物理与技术文集。


  在1901年召开的国际科学院联合会(Association Internationale des Académies)首次会议上,通过了编辑整理和出版莱布尼兹全集的提案。会议委托法兰西科学院(Académie des Sciences )、法兰西道德与政治科学院(Académie des Sciences morales et politiques )与德国的普鲁士科学院启动莱布尼兹全集项目准备工作。首先是调查研究,其中包括莱布尼兹使用过的纸张的产地﹑年代﹑特征,和莱布尼兹合作过的助手﹑秘书的名单以及他们的笔迹等等。法国负责在意大利的调查工作,德国方面的调查范围则包括奥地利﹑丹麦﹑瑞典等国。法国方面的负责人分别是两个科学院的院长,科学家彭加勒(Henri Poincaré )和哲学家布特鲁(Emile Boutroux ),普鲁士科学院则为此成立了一个专业委员会,其成员中包括古代语言学家迪尔茨(Hermann Diels),哲学家狄尔泰(Wilhelm Dilthey),历史学家哈纳克(Adolf von Harnack)以及科学家普朗克(Max Planck)等。通过在欧洲的两年调查整理出了约七万五千多页的手抄目录。


  1907年,国际科学院联合会委托以上三家科学院正式编辑整理出版莱布尼兹全集,并且确定巴黎的两家科学院负责数学﹑认识论﹑逻辑﹑自然科学﹑医学﹑法律及自然法文稿,柏林科学院负责政治﹑国家理论﹑国民经济﹑历史﹑语言学﹑民俗学﹑地理学以及科学组织﹑科学管理等方面的著作。


  第一次世界大战之后,普鲁士科学院终止了与法国科学院的合作。目前莱布尼兹全集编辑出版中获得长期资助的单位包括分属两个科学院的4个研究所:包括哥廷根科学院的汉诺威莱布尼兹档案馆、明斯特大学莱布尼兹研究所、柏林-布兰登堡科学院的柏林编辑部以及波茨坦莱莱布尼兹研究所。全集内容囊括17、18世纪欧洲和世界广泛知识领域,包括政治﹑经济﹑法律﹑哲学﹑数学﹑逻辑﹑医学﹑物理﹑技术﹑地理﹑游记﹑历史﹑语言﹑神学﹑博物馆学、中国的历史﹑哲学﹑文化等,多数代表当时的最高成就。 


  全集共分为八大系列(第一系列:一般性政治与历史通信;第二系列:哲学通信;第三系列:数学﹑自然科学﹑技术学科通信;第四系列:政治﹑文化﹑神学﹑宗教;第五系列:语言与历史;第六系列:哲学;第七系列:数学文集;第八系列:自然科学﹑医学﹑技术学科。)。文稿按其本来文字誊写成可以刊印出版的论文,严格保持当时的文字使用习惯,对提到的人物﹑历史事件﹑地名﹑关键词﹑书名、引语、人物生活的年代和担任的职务、历史事件发生的时间及前因后果、出版物以及引用细节等给出详细注解。手稿(草稿)中百分之八十五以上第一次发表。每一本文集的费用大约在五十到六十万欧元左右。每年的投入大约一百二十到一百四十万欧元。    


  全集预期出版一百二十多集。每集平均八百到一千页。目前已出版四十六集,约占总数的三分之一。 经费资助到2055年12月31日。 


  可以说,莱布尼兹全集的编辑出版意义重大,是代表欧洲甚至人类历史上一个时代缩影的极其珍贵的文化遗产。就个人著作而言,其内容的深度和广度以及卷帙浩繁是人类文明史上罕见的。未来出现在世人面前的莱布尼兹全集的价值至今很难估计。例如,本文介绍了美国科学家根据他的遗稿制造出英文加密打字机。他发明的二进制论文从题目到内容讲中国易经八卦符号是十进制数的二进制图形表示。300多年来无人关心,直到今天进入计算机和网络信息时代才理解,原来莱布尼兹揭示的这个千古奥秘,给中华民族带来至高无上的殊荣——中国的古人不是用预言而是用先进的方法引领数千年以后才到来的信息社会。本文后面会详细探讨。


  1700年,莱布尼兹说服勃兰登堡选帝侯腓特烈三世于柏林成立科学院,并担任首任院长。腓特烈三世曾经说过:“莱布尼兹本人就是一座科学院。”1704年完成《人类理智新论》但是没有出版。1710年,出于对1705年过世的普鲁士王后Sophie Charlotte的感念,出版《神义论》(Essais de Théodicée)。1714年于维也纳著写《单子论》(La Monadologie,标题为后人所加)及《建立于理性上之自然与恩惠的原理》。


  莱布尼兹是从马丁·路德到康德和歌德的300年间,德意志世界所产生的最伟大的思想家。诚然,他的名声不如这三“德”,然而,莱布尼兹的博大精深、高瞻远瞩却是无人能够企及的。由于他成就的超前性以及哲学的社会性,他的思想影响延续到20世纪乃至21世纪。毫不奇怪,莱布尼兹在死后300年间逐渐成为德国社会和科学界以及全世界的一面具有重大激励力量的旗帜。


  莱布尼兹曾在汉诺威生活和工作了近四十年,并且在汉诺威去世,为了纪念他和他的学术成就,2006年7月1日,也就是莱布尼兹360周年诞辰之际,汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼兹大学。


  以莱布尼兹命名的德国莱布尼兹协会在德国和德国著名的马克思-普朗克学会齐名,德文全称Wissenschaftsgemeinschaft Gottfried Wilhelm Leibniz e. V.(戈特弗里德-威廉-莱布尼兹协会),中文又翻译作莱布尼兹协会、莱布尼兹科学联合会等,是一家德国各专业方向研究机构的联合,是生命力很强的多学科联合体。协会成员包括84家大学外的研究机构(2013年),总部位于德国首都柏林。研究领域涵盖自然科学、工程科学、环境科学、经济科学、社会科学、地球科学和人文科学,基础科学研究与应用相结合,与高等院校、工业界及其他国内外研究机构合作紧密。莱布尼兹学会共有工作人员约13800人,经费14亿欧元(2011年)。


  “莱布尼兹奖”是以戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的名字命名,是目前世界上奖金额度最高的科学奖项之一。该奖由德国政府于1985年设立,次年开始每年颁发一次,每次最多10人获奖。设立这一奖项是为了资助杰出研究人员的科研工作,并鼓励他们带领后起之秀参与科研。获奖者可在最多7年时间里不经繁琐申报程序即可使用最高250万欧元的科研奖金。迄今,已有7位“莱布尼兹奖”获得者后来又获得了诺贝尔奖。


  对莱布尼兹的研究文献数量的增加很快。1984年和1996年,Vittorio Klostermann出版社分别出版过《莱布尼兹研究文献》。1984年的统计数字大约是将近8千,1996年大约是2千多。莱布尼兹全集要出100卷以上,现出已出版28卷。那就是说才出了五分之一左右。出版莱布尼兹全集是一项拯救人类精神文化遗产的工作,具有十分重要的意义。莱布尼兹全集估计还需要40年才能出齐。


  莱布尼兹是对控制论之父美国学者维纳(Norbert Wiener,1894-1964)最有影响的哲学家之一。维纳崇拜莱布尼兹作为无所不包的通才的气质。他在1948年出版的《控制论》一书中说:“莱布尼兹以后,似乎再没有一个人能够充分地掌握当代的全部知识活动了。从那时起,科学日益成为专门家愈来愈狭窄领域内进行着的事业。在上一世纪,也许没有莱布尼兹这样的人,但还有一个高斯、一个法拉第、一个达尔文。今天没有几个学者不加任何限定而自称为数学家,或者物理学家,或者生物学家。一个人可以是一个拓扑学家,或者一个声学家,或者一个甲虫学家。满嘴是他那个领域的行话,他可以知道自己那个领域的全部文献和全部分支,但是,他往往会把邻近的科学问题看作与己无关的事情,而且认为如果自己对这种问题发生任何兴趣,那是不能允许的侵犯人家地盘的行为。”


  北美也成立了莱布尼兹学会,有许多活动。2015年举行第33届学生作文竞赛和第9届年会。2016年举行世界大会。联合国教科文组织(UNESCO)将莱布尼兹的1.5万封信件列为世界已故名人遗物。


  人们对莱布尼兹的怀念也是多方面的。莱布尼兹的名字如今已成为商标,市场上出售多种莱布尼兹品牌饼干。巴黎街道和广场有30多处以数学家命名,有2处以莱布尼兹命名。月球上有300多处命名地名(主要是陨石坑),莱布尼兹也榜上有名。网络上有大量网站刊登莱布尼兹传记,例如,斯坦福哲学百科全书。


  在兴起的莱布尼兹热中人们惊奇地发现一个事实:中国人对莱布尼兹了解不多,相反他对中国古代的哲学、哲学家、哲学著作却了解很多也研究很深,他对中国和古代哲学的高度评价举世罕见。对中国的关心直到他生命的尽头。这些事实的挖掘增加了中国人对莱布尼兹的民族文化亲和情愫。这一现象也引起了美国数学界的注意,美国数学协会(MAA)主办的刊物《数学杂志》(Mathmatics )2003 年10月号上登载过篇数学史长篇论文,题目是《莱布尼兹、<易经>和中国人的宗教转化》。 


  维基百科包含莱布尼兹的传记和成就。


二、莱布尼兹发明二进制


  1679年3月25日,莱布尼兹写了题为“二进位算术的解释”的论文。在文中,莱布尼兹给出了二进制的计数方法,系统地讨论了二进制和十进制相互转化的法则;并给出了二进制的加法与乘除法法则。但莱布尼兹要求不要马上发表他的论文。在论文中他把二进制学术地位定位成“发明”。


  1701年11月14日,法国传教士白晋(F. J. Bouvet)在北京给莱布尼兹写了信,这封信辗转法国和英国,1703年4月1日才到达莱布尼兹手中,信中包含伏羲64卦方圆图,如图3所示 。图中的阿拉伯数字为莱布尼兹所加。这张图不是易经八卦原图,原图已经失传。它是宋代杰出的哲学家、历史学家、易学象数学家邵雍(公元1011-1077年,字尧夫)根据周易原图精心改画的,称为《伏羲先天八卦六十四卦方圆图》,见于朱熹的《周易本义》。据考证,在欧洲,莱布尼兹有可能多次在不同著作中见到这张图。可以认为,易经对二进制的发现起到了激励和印证的作用。64卦方圆图的64卦方图和64卦圆图的卦名和次序均和二进制数对应。方图64卦分为8行,每行8卦。顺序是坤(000000)、剥(000001)、比(000010)、观(000011)、豫(000100)......直到乾(111111),恰好是从0到63的64个爻卦数字的十进制数自然数表的二进制表示。圆卦的直径上端为乾(代表 天,序号63)、下端为坤(代表地,序号0)。其余卦的顺序为右半圆周从坤(0)逆时针方向到第31卦。左半圆从坤左侧第32卦(复)顺时针上升到第63卦乾。莱布尼兹看到这张图以后感到兴奋异常,他认为八卦图符号包含二进制数的看法终于得到最后的证实!更加重要的是他看到了其他地方没有看到的二进制的应用。他知道伏羲是中国远古君王,创造了八卦图和中国文字。由此他认为这是二进制极其重要的应用,他立即写信告知法国皇家科学院要求立即发表他1701年寄送的论文。题目也相应改成了“ 关于仅用0与1两个符号的二进制算术的诠释,其实用性以及它们为何出现在中国古代伏羲图上揭秘(EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC, WHICH USES ONLY THE CHARACTERS 0 AND 1, WITH SOME REMARKS ON ITS USEFULNESS, AND ON THE LIGHT IT THROWS ON THE ANCIENT CHINESE FIGURES OF FUXI)”。论文于1703年发表y于巴黎皇家科学院(Memoires de l’Academie Royale des Sciences 1703)。莱布尼兹认为八卦图包含二进制数的看法是他经过认真研究以后得到的结论。他对这个来自遥远的中国古文献的重大发现的确凿性做了仔细分析。在论文中他制作了如图4所示的表格。把八卦图中的爻卦、二进制数和十进制数作了一一对应。表格的第一列是八卦图的爻卦符号。第二和第三列是0到7 的二进制表示,第四列是对应的十进制数。莱布尼兹认为64(26)卦和8(23)卦的二进制表达原则相同,所以他作为例子仅仅列出8卦。这对于说明八卦图和64卦图编号的二进制表达已经足够。不过,也许莱布尼兹认为这些二进制数字就是八卦图的全部内容,八卦图就是二进制表达图。莱布尼兹不知道,这些二进制数不仅是数字,而且是二进制编码。比单纯的二进制要高级。实际上,八卦图的数据结构和现代计算机推理系统类似。可以认为周易系统是大N系统,所谓万物的数目,就是2N,当然不可穷尽。对比与今天的计算机,八卦图就是3位计算机系统,字长为8(23),64卦图是6位系统,字长为64(26)。今天的计算机是64位系统,字长为264,可以认为今天的计算机完成的科学计算、媒体介质的数字化处理、管理、数据库、网络通信、模型模拟、机器智能等是基于一个264卦系统。每一个卦就是一个0和1的序列,序列的每一位代表有或者没有的意思。以疾病为例,3位系统相当有3个症状,根据症状有无的排列有8种疾病,进行模式匹配。N位系统相当于有N个症状,2N次方种疾病。这不是朴素的医学专家系统的信息格局吗?古代中国人实际上已经用二进制的每一位的排列模式造出如此先进的计算机决策判别系统。不过它是软件,没有硬件支撑自动运行,只能靠人工完成判断,它已经是一个完美的推理机。在17和18世纪东学西渐的年代莱布尼兹独具慧眼地发现了中国古代的易经八卦符号就是二进制符号。这确实是石破天惊的科学见解。他为自己的发现无比兴奋。他在论文中说:“八卦符号是世界上有史以来最古老的科学丰碑。在经历如此漫长的年代以后能够恢复其含义的本来面目真是一件不可思议的事情。( And as these figures are perhaps the most ancient monument of  science which exists in the world, this restitution of their meaning, after such a great interval of time, will seem all the more curious.)”字里行间洋溢着他对自己“易经考古”发现重要性的科学热情。不过,莱布尼兹没有进行深入考察易经八卦图的出初衷并非是现代意义下的二进制,而是中国古人的数学大智慧,在没有现代科学概念、符号、公理系统的情况下居然发明了和几千年以后才出现的布尔运算和推理相一致的的信息系统方法。他对易经没有用现代方法 表述二进制这一点表示遗憾。他 认为,中国对易经八卦图包含二进制失传了1千多年,以至于需要由欧洲人来揭示这个数学发明。但是他仍然把中国古代易经包含的数学发明作为他二进制论文题目的一部分,说明他非常尊重中国古代的数学大智慧,在这种大智慧面前,他非常谦虚和实事求是。他认为他提出二进制或者二值算术是略加思考就很容易 理解,这一点和几千年以前遥远的古代的人们的认识是根本不同的。由于计算方法的发展,古代计算过程中许多晦涩的部分被去掉而通俗化了。他认为八卦图和他提出的二进制或者二值运算之间的完全一致性,导致他能够对伏羲氏思想的深邃性作出高度评价。(And this agreement leaves me with a high opinion of the depth of Fuxi's meditations, since what seems easy to us now was not so at all in those far-off times. The binary or dyadic arithmetic is, in effect, very easy today, with little thought required, since it is greatly assisted by our way of counting, from which, it seems, only the excess is removed. )莱布尼兹对易经八卦图的认识,包括对二进制的认识和我们今天的认识有距离是毫不奇怪的。我们不应该以今天的认识苛求于他。他发现八卦符号就是二进制符号,对认识中华民族古代文明的光辉作出了不起的贡献。莱布尼兹在3百多年前的发现,为我们用信息学方法研究、评价和发展易经开辟了崭新的途径。


秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹
图4  伏羲64卦图,上面的阿拉伯数字是莱布尼兹所写。莱布尼兹发现用竖线和短横不同的组合模式代表编号的二进制表示。


  方圆图中的方图就是0到63 十进制数的对照表。在古代的八卦文献没有出现过,可见邵雍是创造性地总结和发展了八卦图。在人类历史上首次完成两种数制的换算的对照。走到这一步,八卦图和二进制的一致性绝非如李约瑟所说的巧合。可惜的是,至今我国的数学、科学、史学和哲学界尚未对这一特别重要的中华文明史辉煌成就的评价获得一致的结论。


秦笃烈:重新认识哲学和数学通才巨人莱布尼兹
图4 莱布尼兹论文中的插图,把八卦图中的爻卦、二进制数和十进制数作了一一对应。


  莱布尼兹论文中给出的这张表格的价值是如此珍贵。他洞察和揭示了沉睡几千年的八卦图上体现的中国古代拥有的数学大智慧的奥秘。以前没有人这样做,所以是史无前例。莱布尼兹认为对于这个发现的重要价值不亚于他发明二进制。态度极其慎重。他请法国著名传教士、汉学家、数学家、科学家白晋帮助他寻找八卦图的原始资料并且加以核实。 白晋曾经帮助康熙皇帝完成人类首次最大规模大地理考察,发现地球是扁的而不是圆的。1701年11月14日当莱布尼兹收到白晋回信以后,他认为“关于我们的解释的正确性已经毋容置疑,可以说神父借助于我给他写的信件揭开了伏羲氏八卦图内藏的奥秘。( Writing to me on 14 November 1701, he sent me this philosophical prince's grand figure, which goes up to 64, and leaves no further room to doubt the truth of our interpretation, such that it can be said that this Father has deciphered the enigma of Fuxi, with the help of what I had communicated to him.)”到这时候,他才认为二进制论文公诸于世的时机已经成熟,迫不及待地给巴黎皇家科学院写信要求发表。从莱布尼兹论文中披露的历程,说明他的二进制论文的发表是他对易经的“科学考古”的结晶,是工业革命早期文明和中国古代先进文明的互动,是一次彪炳史册的意义深远的中德文化交流。是举世闻名的数学、哲学家和全才科学家莱布尼兹对中华古文明的壮丽发掘。二进制和易经之间的关联性是人类文明史上的的精彩奇观和跨越数千年的的跨民族跨国家的科学成果之间无比光鲜的“古少恋”。是当时作为世界两极(中国和欧洲)之间在丝绸之路上开放的可歌、可赞的奇葩!由此可见,莱布尼兹关于二进制的论文有何等重大的价值。 这项发端于至少5千年以前并且耦合于3百多年以前的带有科学预言性的成果将影响到两国和世界的新的千年的发展。能够预言、影响数千年的民族、科学巨人是世界文明的脊梁骨。


  莱布尼兹的文章发表300多年了,国人一直不知道,近年来关于莱布尼兹发明二进制以及和易经关系的文章多起来了,但 发现八卦图包含二进制的第一手材料也很少。图4就是这样的第一手文献资料。像莱布尼兹那样能够以大智慧观察中国古代大智慧的人在全世界也很难找到。可以说这是最珍贵最漂亮的科学中国结。中国古代朴素的二进制在沉睡,而莱布尼兹理论化、科学化的二进制扬帆起航了。八卦图已经发现二进制的成果墙里开花墙外结果。在千年大周期中,它孕育和催生了人类两大有重大历史意义的成果:其一是1703年莱布尼兹二进制科学论文的发表;其二是到了二十世纪三十年代,现代计算机之父在计算机研发中抛弃十进制采用二进制创造了计算机的冯·诺依曼结构。我们清晰地看到千年大循环发展链:八卦图二进制——→1703年促成莱布尼兹发表他的论文——→二十世纪三十年代冯·诺依曼丢掉十进制采用二进制发明计算机的冯·诺依曼结构。这条链的源头由中国人引导。


  研究表明,邵雍对阐明八卦图爻卦图形代表二进制数字有特殊贡献。邵雍的象数学以数为出发点,认为理从数中来。根据阴阳特性和“一每生二,自然之理”法则,明确书写出二进制的表示法。创造性地画出《伏羲先天八卦六十四卦方圆图》,邵雍提出,阳爻(丨)称为“天根”(1),阴爻(- -)称为“月窟”(0)。只用“0”和“1”即能实现任何数的二进制表示。他通过创造阳爻、阴爻、天根、月窟以及其他难懂的术语将八卦图用神秘的外衣包装起来。邵雍甚至没有说明0到63的爻卦符号是64卦的编号。因此可以说,八卦图在其神秘外衣的表象下,有数学大智慧的内涵。


  那么如何从文献的角度,说明邵雍创制的八卦图是基于二进制呢?我们无法从邵雍的著作中找到如同现代数学描述的二进制。那么他编制伏羲先天64卦方圆图的方图中的二进制和十进制的对照表又是如何得到的呢?对二进制的进位邵雍称为“加一倍法”,就是二进制基本运算原则“逢二进一”或者二的乘幂的意思。可以说他掌握了将十进制数变成二进制的方法。这种方法似乎是只可意会、难以言传和推演的“天书”。


  《二程外书·传闻杂记》记载了程颢向邵雍学习加一倍法的过程:“尧夫易数甚精(邵雍对于二进制和易学非常精通熟练)。自来推长历者,至久必差,惟尧夫不然。指一二近事,当面可验(邵雍随手可以写出二进制卦象表示)。要学(彻底搞懂),须是二十年工夫。明道(学者称邵雍为明道先生)闻说甚熟,一日因监试无事,以其说推算之(可以理解为程颢按照加一倍法推演0到63的十进制和二进制的换算),皆合。出谓尧夫(邵雍)曰:尧夫之数,只是加一倍法。”由此可见,“加一倍法”是邵雍易经八卦图的核心部分。运算容易进行,但是原理在当时它是高深数学,要20年才能学会。程颢从邵雍那里学会了加一倍法的计算方法,并且在闲空的时候实际推演成功,于是对加一倍法完全理解和肯定。虽然邵雍没有给出严格的现代公式和说明,但是方法是掌握了。只是当时无法用数学语言清晰表达,在现代数学符号和运算体系出现以前,应该承认是古人的数学大智慧的体现 。伏羲先天64卦方圆图中的方图给出 0到63的二进制和十进制换算表和祖冲之的圆周率一样是一项属于中华民族的辉煌的数学和哲学世界冠军。 


  后来,邵雍的“加一倍法”受到后朱熹的重视和高度评价,他说:“自有《易》以来,只有康节说一个物事如此齐整。”(《朱子语类》卷100)朱熹理解以后有所发挥,他把“加一倍法”称作“加一位法”。如果说,加一倍法强调的是2的方幂,加以位法强调进位,即逢二进一。由此可以认为,朱熹的加一位法把邵雍的二进制和十进制对照表的制作方法说出来了。从0开始依次加1,逢二进一就可以写出0到63的二进制表示。但是朱熹的说法仍然是抽象的概括,而不是严格的数学描述。为了便于背诵八卦符号,朱熹根据八卦符号的图像特点编写了八卦口诀;乾三连(☰),坤六断(☷),震仰盂(☳),艮覆碗(☶),离中虚(☲),坎中满(☵),兑上缺(☱),巽下短(☴)。乾卦的符号是☰,称为乾三连,坤卦的符号是☷,称为坤六断。朱熹的八卦口诀从一个侧面说明,由于没有二进制的严格数学定义,所以用八卦符号的图形特点来描述,不是我们今天的说法,乾卦的 二进制表示为111,坤卦的二进制表示为000。由此我们不必刻意追求八卦是否发明了二进制,就实际表达而言,八卦符号就是二进制,就现代二进制描述而言,二者没有关系。莱布尼兹在他的论文中说八卦符号的含义中国人失传了1千多年是有道理的。南宋的黄震说:“康节既没,数学无传。今所存之空图,殆不能调弦得之琴谱”。(《黄氏日钞》卷六《论周易》。)就是对邵雍数学方法失传的感叹。虽然核心方法失传了,易经仍然流传下来千年不绝。从今天信息学方法考察, 实际上八卦中的“错、综、复、杂”诸卦 是通过两个3位二进制码合成的六位二进制码通过二进制逻辑运算而得到。反码、补码、翻转码都用上了。今天汉语中的词汇《错综复杂》 就来源于易经的卦名。词汇不三不四也来源于易经。6位二进制码表示的卦象中第三、四位(爻)处于核心地位,这2个爻的爻辞不佳,就是不三不四。神秘的八卦图不是很贴近大众吗?易经八卦早就从易学家手中走到普通人心目中了。有的不自觉而已。数学能够融合到文化生活,易经是佼佼者。多么接地气!从出土文物知道,八卦符号在7000多年前就出现了,那时殷墟甲骨文没有出现,没有文字。所以,引领世界的中华数学文化传统要大大发扬,说数学文化是文化之冠也并不为过。


  邵雍发现的二进制的理解和现代一致,但是采用基于哲学的独特描述,所以被人忽略,直到遇到大高手莱布尼兹这个千年奥秘才被破译出来。莱布尼兹在1698年说,20多年前就发明了二进制。他熟知这种理论,所以在多次看到八卦图介绍的时候,从阴阳爻卦的长竖线和短横线的组合立即感悟到二进制表示是毫不奇怪的。看到八卦图的人不计其数,能够揭示其中奥秘的仅莱布尼兹一人而已。不少人穷其一生研究易经也没有发现八卦图中蕴含的信息学奥秘。我国古代有许多领先世界的发明创造,但是缺乏符号体系和理论以及运算系统,没有上升到科学和技术层面。致使包含先进技术的成果被包装成带有神秘哲学色彩的理论和工具。莱布尼兹发明了二进制,并且从数学家的角度发现二进制的运算有特殊的简易性从而预见到将来的计算会采用(即使在当时找不到实际应用)。当他看到伏羲八卦图上的二进制表示,他觉得自己的发明终于“提前”找到他并不完全理解的高级实际应用的例子,自然喜出望外。但是需要指出的是,八卦图的内涵远远不止卦象代表的二进制数,所以不能在二者之间划等号。邵雍对二进制数表示的超前认识也不能和莱布尼兹的二进制理论划等号。


  当我们仔细阅读莱布尼兹的论文全文的时候,强烈感受到文章的通俗性、可操作性和可视性。他把一项伟大的数学发明讲解得清清楚楚。图5是莱布尼兹发表在法国皇家科学院1703年年鉴上的关于二进制解释的论文中的一页 ,其中关于二进制四则运算的讲解和举例同今天讲解二进制的教材完全相同。6+7=13,13-7=6,3X3=9,15/5=3。左边的5列为32以内10进制数的二进制表示。右边的列为十进制数。 从莱布尼兹的科学文风与中国古代周易论著和文章的艰涩对比中,也许可以找到为何中国古代科技停滞不前的线索。


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图5 莱布尼兹1703年在法国皇家科学院发表的二进制的论文手稿的一页,包含二进制数四则运算的例子


  这份文稿在1966年纪念莱布尼兹逝世250周年纪念文集中第一次向公众展示,文集由莱布尼兹档案馆编辑。

莱布尼兹发明二进制以后,就开始考虑设计基于二进制的计算器。在汉诺威的莱布尼兹博物馆保存了一份莱布尼兹于1679年3月15日完成的手稿,其内容包括利用活动的球代表二进制数字设计二进制机械计算器可能性的简要说明。


  在我们看到莱布尼兹从数学哲学科学的角度发明了二进制算术计算系统的论文的时候,我们应该认为莱布尼兹是一位伟大的极具远见的科学大师。但是文献也记录了莱布尼兹对二进制的宗教解释。这一份弥足珍贵的手稿保存在德国图灵根著名的郭塔王宫图书馆(Schlossbiliothke zu Gotha)。其标题为:“1与0,一切数字的神奇渊源。这是造物的秘密美妙的典范,因为,一切无非都来自上帝。”这确实是巨匠莱布尼兹的手迹。


  他在写给当时在中国传教的法国耶稣士会牧师白晋的信中说:“第一天的伊始是1,也就是上帝。第二天的伊始是2,……到了第七天,一切都有了。所以,这最后的一天也是最完美的。因为,此时世间的一切都已经被创造出来了。因此它被写作‘7’,也就是‘111’(二进制中的111等于十进制的7),而且不包含0。只有当我们仅仅用0和1来表达这个数字时,才能理解,为什么第七天才最完美,为什么7是神圣的数字。特别值得注意的是它(第七天)的特征(写作二进制的111)与三位一体的关联。”对此 ,著名数学家拉普拉斯在他的名著《概率的哲学探讨》中持批评态度:“莱布尼兹在他的二进制算术中,看出了创造万物的影像……他想象:一代表上帝,零代表混沌;上帝由混沌中创造出世界万物,正如在他的记数法中用一和零表示一切的数一样。这个观念太使莱布尼兹喜欢了,所以他将它提交任钦天监监正(相当于国家天文台台长)的神父闵明我,希望因这种创世界的象征,而使非常喜欢科学的中国皇帝也转信耶稣教。我提到这点,目的只在指出,即使是大人物的眼睛,有时也会被幼稚的偏见所蒙蔽!”拉普拉斯揭示了在莱布尼兹身上具有的科学和宗教的两重性。莱布尼兹从中国古代易经八卦图的数学元素中得到的感悟,催生了他的二进制科学论文的发表。本来并不尽善尽美的事情在莱布尼兹手中却衍生衍生出惊世赅俗的伟大发明,这就是属于莱布尼兹的永恒魅力。值得注意的是,虽然莱布尼兹对二进制给出了宗教解释,但是在他的科学论文中却将其完全去掉了。


  莱布尼兹发明二进制300年以后,我们没有看到它对上帝7天创世说的任何验证,却看到了划时代的伟大发明电子计算机以及信息时代的到来。他的科学预言终于成真了。


三、莱布尼兹发明了可以完成四则运算的计算器


  莱布尼兹极富远见地洞察到,任何社会都离不开计算。他发明二进制就是为了获得高效的计算。在发明二进制不久他就提出了建造基于二进制的计算机器的方案。对于计算工具的重要性,他说:“让杰出人物像奴隶一样花大量时间完成计算是得不偿失的,如果有机器可以使用,可以交给任何可靠的人去完成。”1667年他被美茵茨具有选帝资格的诸侯任命为顾问,使得他有机会经常到伦敦和巴黎旅行,并有机会结识斯宾诺莎和惠更斯等科学界和哲学界的大名人并且保持联系。在巴黎他见到了巴斯卡的加法机,第一台加法机是1642年由法国科学家、数学家兼哲学家布莱斯•巴斯卡设计的。这个装置使用了一系列有10个齿的轮子,每个齿代表从0到9的一个数字。轮子互相连接,通过按照正确的齿数向前移动轮子,就可以将数字彼此相加。莱布尼兹认为自己有能力改进和超越其结构以及仅仅能够完成加法运算的局限性。1672年,莱布尼兹在巴黎看到一台计步器,他分析其内部结构发现是使用了齿轮系统,启发了他有可能制造能够完成四则运算的计算器,于是开始钻研如何设计特殊的齿轮来完成四则运算。他也邀请钟表制造者协助设计齿轮。复杂齿轮系统的传动力学和精密计算具有独特制造工艺和计算的难度。


  莱布尼兹最终设计和制造成功能够进行四则运算的手摇步进鼓轮计算器,命名为Stepped Reckoner,它是当时最先进的数字化机械计算器,是人类社会计算机械化自动化发展的一个里程碑。图6莱布尼兹手稿中关于这种手摇计算器部分内容。


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图6莱布尼兹手稿中关于手摇计算机的描述的部分内容


  这种新型手摇计算器采用了莱布尼兹发明的新型的机械装置——步进鼓轮又被称为莱布尼兹齿轮,这种鼓形轮是圆柱形的,内部有9个长度不同的条状齿的齿轮。它们以相等的步长运动。这种创新思想逐渐被人们理解并为以后200多年整整一个历史时代的手摇计算器采用。当莱布尼兹的新型计算器的第一台木质原型机完成以后,他将其送交伦敦的皇家学会。虽然样机模型不能正确地工作,仍然令皇家学会会员们感到震惊并且要求他制造能够工作的样机,第一台样机在1674年完成,长度为67厘米,由抛光的铜齿轮构成,装在橡木盒子内。机器分为两大部分。前端是数字输入部分,用可拨动的表盘设定操作数,前端的手柄用于计算;后方是累加器部分,按照设计,这种手摇计算器的长度可以延长,使得可以计算的位数增加。


  莱布尼兹发明的手摇计算器可以完成四则运算,包括对一个8位数或者16位数的加减法运算、两个8位数相乘得到16位数以及用一个8位数除16位数。图7是收藏在慕尼黑国家自然博物馆的样机复制品照片,由于他的著作没有及时出版,人们对它的发明原理和操作方法的认识长期处于停滞状态。样机也被尘封于仓库险遭丢失。


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图7 莱布尼兹发明的能够完成四则运算的手摇计算器Stteped Reckoner


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图8、9为计算器内部的齿轮系统。图10为齿轮系统的模式图


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图8  手摇计算器的齿轮系统


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图9 手摇计算器的齿轮系统


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图10手摇计算器齿轮传动系统模式图


  后来的研究发现,由于制造工艺精密度的局限,Stepped Reckoner的内部存在影响稳定性的瑕疵,但是当人们理解莱布尼兹齿轮的发明和工作原理以后许多年,真正能够普及使用的手摇计算器商品于20世纪中叶投入市场。其中之一称为Curta(10),由奥地利科学家 Herzstark负责研制。采用的基本元件是莱布尼兹齿轮。商品信息完整,包含产品、论文、操作使用手册、设计思想和结构解释以及维修服务。Curta等手摇计算器商品的推出,使得更多的人们了解莱布尼兹手摇计算器的原理和历史价值。图11和12给出了Curta外观以及内部的步进鼓轮(条形齿轮)传动结构。对Curta计算器的理解有助于我们对莱布尼兹计算器的理解。据文献报道,根据莱布尼兹齿轮原理制造的手摇计算器有10多种。


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图11 Curta手摇计算器外观


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图12 Curta的内部的步进鼓轮(条形齿轮)传动结构


  莱布尼兹手摇计算器的研发在今天来看是个大项目,花的经费约相当于今天100万美元。样机遗失了100多年,原来存放在哥廷根大学,直到1879年建筑工人在修理漏水的屋顶时才发现。现保存在德国下萨克森州国家图书馆。20世纪时曾制造了一些复制品,IBM也造了一台。


  莱布尼兹还完成了其他惊人发明。2012年12月14日在匹兹堡大学Hillman图书馆特藏室展出了莱布尼兹发明的密码机。这台机器是由匹兹堡大学著名哲学家尼古拉斯·瑞思歇(Nicholas Rescher)根据17世纪七十年代的莱布尼兹的笔记和备忘录制作出来的。当时莱布尼兹向神圣罗马帝国皇帝利奥波德一世(Leopold I) 建议在战争中使用加密和解密的机器,但是皇帝不感兴趣,所以连样机也没有造出来。瑞思歇教授解读了莱布尼兹的手稿以后写出了《莱布尼兹和加密机》一书(图13),并且决定自己亲自重建。他在匹兹堡大学工程师理查德·科尔特、研究莱布尼兹发明的专家克劳斯巴德尔以及一位德国精于历史发明的机械师沃夫根·罗茨坦特的帮助下,一台工作样机终于制造出来。其核心部件“莱布尼兹轮(也称鼓)”是莱布尼兹复杂机器的关键。其有规律的运动可以产生加密文字的变化,使得产生的编码更加难于识别。图14为瑞思歇教授和他重构的莱布尼兹密码机。图15 为莱布尼兹加密机近观。


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图13 瑞思歇教授解读了莱布尼兹的手稿以后出版了《莱布尼兹和加密机》一书


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图14  瑞思歇教授和他重建的莱布尼兹密码机


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图15  匹兹堡大学瑞思歇教授重建的莱布尼兹加密机近观


  莱布尼兹发明了二进制。他也预见到在未来的计算中将会使用,也给出了二进制计算机的设计思想。但是超前的思想毕竟是思想,在莱布尼兹年代尚未有能够完成二进制运算的电子器件。在机械装置中无法实现二进制运算。巨匠莱布尼兹没有在自己的超前思想中踏步不前,而是以最大努力在可以实现的装置中实现四则运算。这一成功是他对人类计算工具的发展所作出的贡献。


  我们今天可以这样评价莱布尼兹对人类计算工具的贡献:他发明的手摇计算器的原理统领了整整一个历史时代,而他发明二进制以及对今后计算工具要采用二进制的科学预言在经历300多年以后也非常准确地兑现了。这是科学史上的一大奇观。


四、莱布尼兹终生探索中国文化


  2013年9月和10月由中国国家主席习近平分别提出建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的战略构想(简称一带一路),它借用古代“丝绸之路”的历史符号,高举和平发展经济、文化的旗帜,将打造未来世界秩序的另一条主轴。这个战略构想引发了对古代“丝绸之路”的追踪热潮。我们可以从广义角度将莱布尼兹的思想、著作、成就特别是他的终生中国热”看作是丝绸之路的文化交流分支。让人感到惊讶的是,从莱布尼兹的社会活动、著作、思想、科学发现中一下子就找到了一个硕大的“中国结”。


  莱布尼兹关于中国的著作很多,他第一次提到中国是1666年,内容与汉字有关。他的著作传到中国却晚了近200年,这不能不说是很遗憾的事情。1935年由商务印书馆出版第一本陈德荣翻译的莱布尼兹著作《形而上学序论》1940年在台湾翻译出版了《莱布尼兹与中国》(Leibniz  und China)。


  1978年改革开放以后以后,情况有了很大转变。短短20多年, 就相继出版了《人类理智新论》、《莱布尼兹与克拉克论战书信集》、《新系统及其说明》、《单子论及其他哲学论著》、《莱布尼兹自然哲学著作选》等5部译著。此外,《致德雷蒙先生的信: 论中国哲学》和《神正论·序》也已翻译发表, 而秦家懿编译的《德国哲学家论中国》, 主要来源于莱布尼兹书信的翻译。出版物的累计总字数达140 万以上, 相当于1978 年以前的8~10倍。至于有关莱布尼兹的研究性成果, 1978 年以前仅仅出版一部专著——1933年上海世界书局出版的施友忠的《笛卡尔、斯宾诺莎和莱布尼兹》。论文仅10 篇左右。1978年以后出版专著5部,例如,《莱布尼兹与中国文化》(孙小礼)、《莱布尼兹与中国》(1997年10 月在柏林召开纪念莱布尼兹《中国近事》出版300周年第一次国际讨论会文集,李文潮主编)、《莱布尼兹思想中的中国元素》(张西平)等。在杂志上发表论文70多篇。其中三分之二以上为近10年的研究成果。


  莱布尼兹在世的时候正值清顺治三年(1646年)——康熙五十五年(1716年)。在这个期间,作为丝绸之路上的文化使者,欧洲耶稣会会士来到中国,积极靠近康熙皇帝,认真学习和翻译中国古代哲学名著。而顺治和康熙思想相对开放,请传教士传授科学和数学,康熙亲自学习代数、三角和平面几何。莱布尼兹自己虽然没有来到中国,但是他的眼光始终注视中国。他20岁发表《论组合术》(1666)这篇逻辑学文章首次提到中国文字不是拼音文字。他和来到中国的耶稣会传教士建立密切关系。从他们那里得到关于中国的材料。他去世前的最后一篇文章是《中国自然神学论》(1716),可以说他终生和中国有不解之缘。前面 已经提到他的最重要发明之一——二进制的思考和发表过程也和中国哲学有密切联系。 


  在那个时期大量中国古代经典被翻译成拉丁文和法文,形成了颇有气势的“中国经籍西传”运动。法国科学院院士、传教士白晋就曾经受康熙之托,将49册中文书送给法国路易十四国王;他还遵循康熙的旨意研究《易经》,写成《易经总旨》。图16展示1672年出版的儒家经典《中庸》的拉丁文译本,翻译者是传教士汉学家殷铎泽。


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图16  1672年由号称“欧洲第一中文译者”的传教士汉学家殷铎泽翻译成拉丁文的儒家经典《中庸》,这份珍贵手稿2010年10月曾在上海世博会意大利馆内展出


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图17 莱布尼兹的著作:《中国近事——为了照亮我们这个时代的历史》


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图18 莱布尼兹出门时带在身边的一把折椅,他将其挂在车厢里,便于他出门是在车厢中


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图19 莱布尼兹的墓碑上面只是简单地写了“莱布尼兹埋骨处”

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